Lagrange point L2

V nebeské mechanice jsou Lagrangeovy body ( / l ə ˈ ɡ r ɑː n dʒ / ; také Lagrangeovy body nebo librační body ) body rovnováhy pro objekty s malou hmotností pod gravitačním vlivem dvou masivních obíhajících těles. Matematicky se jedná o řešení omezené úlohy tří těles.

Normálně dvě masivní tělesa působí v bodě nevyváženou gravitační silou, která mění oběžnou dráhu čehokoli, co se v tomto bodě nachází. V Lagrangeových bodech se gravitační síly dvou velkých těles a odstředivá síla vzájemně vyrovnávají. To může učinit z Lagrangeových bodů vynikající umístění pro satelity, protože korekce na oběžné dráze , a tedy i požadavky na palivo, potřebné k udržení požadované oběžné dráhy, jsou udržovány na minimu.

Pro jakoukoli kombinaci dvou orbitálních těles existuje pět Lagrangeových bodů, L 1 až L 5 , všechny v orbitální rovině dvou velkých těles. Existuje pět Lagrangeových bodů pro systém Slunce-Země a pět různých Lagrangeových bodů pro systém Země-Měsíc. L 1 , L 2 a L 3 jsou na přímce procházející středy dvou velkých těles, zatímco L 4 a L 5 každá působí jako třetí vrchol rovnostranného trojúhelníku vytvořeného se středy dvou velkých těles.

Když je hmotnostní poměr obou těles dostatečně velký, body L 4 a L 5 jsou stabilními body, což znamená, že kolem nich mohou předměty obíhat a že mají tendenci do nich předměty vtahovat. Několik planet má trojské asteroidy blízko jejich bodů L 4 a L 5 vzhledem ke Slunci; Jupiter má více než jeden milion těchto trojských koní.

Některé Lagrangeovy body se používají k průzkumu vesmíru. Dva důležité Lagrangeovy body v systému Slunce-Země jsou L 1 , mezi Sluncem a Zemí, a L 2 , na stejné čáře na opačné straně Země; oba jsou dobře mimo oběžnou dráhu Měsíce. V současné době se na L 1 nachází umělá družice nazvaná Deep Space Climate Observatory (DSCOVR) , která studuje sluneční vítr přicházející k Zemi ze Slunce a monitoruje zemské klima tím, že pořizuje snímky a posílá je zpět. Vesmírný dalekohled Jamese Webba , výkonná infračervená vesmírná observatoř, se nachází v L 2 . [ 4 ] To umožňuje velké sluneční cloně satelitu chránit dalekohled před světlem a teplem Slunce, Země a Měsíce. Lagrangeovy body L 1 a L 2 se nacházejí asi 1 500 000 km (930 000 mi) od Země.Dřívější dalekohled Gaia Evropské kosmické agentury a jeho nově vypuštěný Euclid také obývají oběžné dráhy kolem L 2 . Gaia si udržuje těsnější Lissajousovu dráhu kolem L 2 , zatímco Euclid sleduje halo dráhu podobnou JWST. Každá z vesmírných observatoří těží z toho, že je dostatečně daleko od zemského stínu, aby mohla využívat solární panely k napájení, z toho, že nepotřebovala mnoho energie ani pohonné hmoty pro udržování stanice, z toho, že nebyla vystavena magnetosférickým účinkům Země a z přímého vedení. pohled na Zemi pro přenos dat.

Dějiny

Tři kolineární Lagrangeovy body (L 1 , L 2 , L 3 ) objevil švýcarský matematik Leonhard Euler kolem roku 1750, deset let předtím, než Joseph-Louis Lagrange narozený v Itálii objevil zbývající dva.

V roce 1772 Lagrange publikoval "Esej o problému tří těles ". V první kapitole se zabýval obecným problémem tří těles. Z toho ve druhé kapitole demonstroval dvě speciální řešení s konstantním vzorem , kolineární a rovnostranné, pro libovolné tři hmotnosti s kruhovými drahami.

Lagrangeovy body

Viz také: Seznam objektů v Lagrangeových bodech

Pět Lagrangeových bodů je označeno a definováno takto:

L 1 bod

Bod L 1 leží na přímce definované mezi dvěma velkými hmotami M 1 a M 2 . Je to bod, kde se gravitační přitažlivost M 2 a M 1 spojují, aby vytvořily rovnováhu. Objekt, který obíhá kolem Slunce blíže než Země, by měl obvykle kratší oběžnou dobu než Země, ale to ignoruje účinek zemské gravitace. Pokud je objekt přímo mezi Zemí a Sluncem, pak zemská gravitace působí proti částečnému působení Slunce na objekt, čímž se prodlužuje oběžná doba objektu. Čím blíže k Zemi je objekt, tím větší je tento efekt. V bodě L 1 se oběžná doba objektu přesně rovná oběžné době Země. L 1 je asi 1,5 milionu kilometrů nebo 0,01 au , od Země ve směru ke Slunci.

L 2 bod

Bod L 2 leží na přímce procházející dvěma velkými hmotami za menší z těchto dvou. Zde kombinované gravitační síly dvou velkých hmot vyvažují odstředivou sílu na těleso v L 2 . Na opačné straně Země, než je Slunce, by oběžná doba objektu byla normálně delší než doba Země. Extra tah zemské gravitace snižuje oběžnou dobu objektu a v bodě L 2 se tato oběžná doba rovná Zemi. Stejně jako L 1 , L 2 je asi 1,5 milionu kilometrů nebo 0,01 au od Země (od Slunce). Příkladem kosmické lodi navržené pro provoz v blízkosti Země-Slunce L 2 je James Webb Space Telescope . Mezi dřívější příklady patří Wilkinson Microwave Anisotropy Probe a její nástupce Planck .

L 3 bod

Bod L 3 leží na čáře definované dvěma velkými hmotami, za větší z těchto dvou. V systému Slunce-Země bod L 3 existuje na opačné straně Slunce, trochu mimo oběžnou dráhu Země a o něco dále od středu Slunce než Země. K tomuto umístění dochází, protože Slunce je také ovlivněno zemskou gravitací, a tak obíhá kolem barycentra dvou těles , které je hluboko uvnitř tělesa Slunce. Objekt ve vzdálenosti Země od Slunce by měl oběžnou dobu jeden rok, pokud by se vzala v úvahu pouze gravitace Slunce. Ale objekt na opačné straně Slunce než Země a přímo v linii s oběma "cítí", jak se zemská gravitace mírně přidává ke Slunci, a proto musí obíhat o něco dále od barycentra Země a Slunce, aby měl stejný 1- roční období. Právě v bodě L 3 kombinovaný tah Země a Slunce způsobí, že objekt obíhá se stejnou periodou jako Země, ve skutečnosti obíhá hmotu Země+Slunce s barycentrem Země-Slunce v jednom ohnisku své oběžné dráhy.

L 4 a L 5 bodů

Gravitační zrychlení na L 4

Body L 4 a L 5 leží ve třetích vrcholech dvou rovnostranných trojúhelníků v rovině oběžné dráhy, jejíž společnou základnou je přímka mezi středy obou hmot tak, že bod leží 60° před (L 4 ) resp. za (L 5 ) menší hmotou s ohledem na její oběžnou dráhu kolem větší hmoty.

Stabilita

Trojúhelníkové body (L 4 a L 5 ) jsou stabilními rovnováhami za předpokladu, že poměr ⁠M 1/M 2je větší než 24,96. To je případ soustavy Slunce–Země, soustavy Slunce–Jupiter a s menším odstupem soustavy Země–Měsíc. Když je těleso v těchto bodech narušeno, pohybuje se pryč od bodu, ale faktor opačný k faktoru, který je zvýšen nebo snížen narušením (buď gravitace nebo rychlost vyvolaná momentem hybnosti), se také zvýší nebo sníží a ohne dráhu objektu. do stabilní oběžné dráhy ve tvaru fazole kolem bodu (jak je vidět v korotační vztažné soustavě).

Body L 1 , L 2 a L 3 jsou polohy nestabilní rovnováhy . Jakýkoli objekt obíhající u L 1 , L 2 nebo L 3 bude mít tendenci vypadnout z oběžné dráhy; je proto vzácné tam najít přírodní objekty a kosmické lodě obývající tyto oblasti musí zaměstnávat malé, ale kritické množství udržování stanice, aby si udržely svou pozici.

Přírodní objekty v Lagrangeových bodech

Hlavní článek: Seznam objektů na Lagrangeových bodech

Kvůli přirozené stabilitě L 4 a L 5 je běžné, že přírodní objekty obíhají v těchto Lagrangeových bodech planetárních systémů. Objekty, které obývají tyto body, jsou obecně označovány jako " trojské koně " nebo "trojské asteroidy". Název je odvozen od jmen, která byla dána asteroidům objeveným obíhajícím kolem Slunce – body Jupiter L 4 a L 5 , která byla převzata z mytologických postav objevujících se v Homérově Iliadě , epické básni odehrávající se během trojské války . Asteroidy v bodě L 4 před Jupiterem jsou pojmenovány podle řeckých znaků v Iliadě a jsou označovány jako " řecký tábor ". Ty v bodě L 5 jsou pojmenovány po trojských postavách a označují se jako " Trójský tábor ". Oba tábory jsou považovány za typy trojských těl.

Vzhledem k tomu, že Slunce a Jupiter jsou dva nejhmotnější objekty ve Sluneční soustavě, existuje více známých trojanů Slunce-Jupiter než u jakékoli jiné dvojice těles. Menší počet objektů je však znám v Lagrangeových bodech jiných orbitálních systémů:

• Body Slunce–Země L 4 a L 5 obsahují meziplanetární prach a nejméně dva asteroidy, 2010 TK 7 a 2020 XL 5. 
• Body L 4 a L 5 Země-Měsíc obsahují koncentrace meziplanetárního prachu , známého jako Kordylewského mraky.  Stabilita v těchto specifických bodech je značně komplikována vlivem sluneční gravitace.
• Body Slunce – Neptun L 4 a L 5 obsahují několik desítek známých objektů, trojských koní Neptun.
• Mars má čtyři akceptované trojské koně Mars : 5261 Eureka , 1999 UJ 7 , 1998 VF 31 a 2007 NS 2.
• Saturnův měsíc Tethys má ve svých bodech L 4 a L 5 dva menší měsíce Saturnu , Telesto a Calypso . Další Saturnův měsíc Dione má také dva Lagrangeovy koorbitaly, Helene v jeho bodě L 4 a Polydeuces v L 5 . Měsíce putují azimutálně kolem Lagrangeových bodů, přičemž Polydeuces popisuje největší odchylky a pohybuje se až 32° od bodu Saturn–Dione L 5.
• Jedna verze hypotézy obřího dopadu předpokládá, že objekt jménem Theia vznikl v bodě L 4 nebo L 5 Slunce-Země a po destabilizaci oběžné dráhy narazil do Země a vytvořil Měsíc.
• V dvojhvězdách má Rocheův lalok svůj vrchol umístěný v L 1 ; jestliže jedna z hvězd expanduje za svůj Rocheův lalok, pak ztratí hmotu ve prospěch své doprovodné hvězdy , známé jako Rocheův lalok přetečení.

Objekty, které jsou na podkovových drahách, jsou někdy mylně popisovány jako trojské koně, ale neobsazují Lagrangeovy body. Mezi známé objekty na podkovovitých drahách patří 3753 Cruithne se Zemí a Saturnovy měsíce Epimetheus a Janus .

Fyzikální a matematické detaily

Vizualizace vztahu mezi Lagrangeovými body (červená) planety (modrá) obíhající hvězdu (žlutá) proti směru hodinových ručiček a efektivním potenciálem v rovině obsahující oběžnou dráhu (model šedé pryže s fialovými obrysy stejného potenciálu). 
Klikněte pro animace

Lagrangeovy body jsou řešením omezeného problému tří těles s konstantním vzorem . Například, vzhledem k tomu, že dvě masivní tělesa na oběžné dráze kolem jejich společného barycentra , existuje pět pozic ve vesmíru, kde by mohlo být umístěno třetí těleso, poměrně zanedbatelné hmotnosti , aby si udrželo svou polohu vzhledem ke dvěma masivním tělesům. K tomu dochází, protože kombinované gravitační síly dvou masivních těles poskytují přesnou dostředivou sílu potřebnou k udržení kruhového pohybu , který odpovídá jejich orbitálnímu pohybu.

Alternativně, když je vidět v rotující referenční soustavě , která odpovídá úhlové rychlosti dvou společně obíhajících těles, v Lagrangeových bodech kombinovaná gravitační pole dvou masivních těles vyvažují odstředivou pseudosílu , což umožňuje menšímu třetímu tělesu zůstat nehybné ( v tomto rámci) vzhledem k prvním dvěma.

L 1

Umístění L 1 je řešením následující rovnice, gravitace poskytující dostředivou sílu:M1(R−r)2−M2r2=(M1M1+M2R−r)M1+M2R3kde r je vzdálenost bodu L 1 od menšího objektu, R je vzdálenost mezi dvěma hlavními objekty a M 1 a M 2 jsou hmotnosti velkého a malého objektu. Veličina v závorce vpravo je vzdálenost L 1 od těžiště. Řešení pro r je jediným skutečným kořenem následující kvintické funkce

x5+(μ−3)x4+(3−2μ)x3−(μ)x2+(2μ)x−μ=0kdeμ=M2M1+M2je hmotnostní zlomek M 2 ax=rRje normalizovaná vzdálenost. Pokud je hmotnost menšího objektu ( M 2 ) mnohem menší než hmotnost většího objektu ( M 1 ), pak L 1 a L 2 jsou v přibližně stejné vzdálenosti r od menšího objektu, rovnající se poloměru Hillovy koule , daný:r≈Rμ33

Můžeme to také napsat jako:M2r3≈3M1R3Protože slapový účinek tělesa je úměrný jeho hmotnosti dělené krychlovou vzdáleností, znamená to, že slapový účinek menšího tělesa v bodě L 1 nebo v bodě L 2 je asi trojnásobek tohoto tělesa. Můžeme také napsat:ρ2(d2r)3≈3ρ1(d1R)3kde ρ 1 a ρ 2 jsou průměrné hustoty dvou těles a d 1 a d 2 jsou jejich průměry. Poměr průměru ke vzdálenosti udává úhel svíraný tělesem, což ukazuje, že při pohledu z těchto dvou Lagrangeových bodů budou zdánlivé velikosti těchto dvou těles podobné, zvláště pokud hustota menšího z nich je asi třikrát větší než hustota většího. jako v případě země a slunce.

Tato vzdálenost může být popsána jako taková, že oběžná perioda odpovídající kruhové dráze s touto vzdáleností jako poloměr kolem M 2 v nepřítomnosti M 1 je orbitální perioda M 2 kolem M 1 , děleno √ 3 ≈ 1,73:Ts,M2(r)=TM2,M1(R)3.

L 2

Lagrangeův bod L 2 pro soustavu Slunce – Země

Umístění L 2 je řešením následující rovnice, gravitace poskytující dostředivou sílu:M1(R+r)2+M2r2=(M1M1+M2R+r)M1+M2R3s parametry definovanými jako pro případ L 1 . Odpovídající kvintická rovnice jex5+x4(3−μ)+x3(3−2μ)−x2(μ)−x(2μ)−μ=0

Opět platí, že pokud je hmotnost menšího objektu ( M 2 ) mnohem menší než hmotnost většího objektu ( M 1 ), pak L 2 je přibližně na poloměru Hillovy koule , daný vztahem:r≈Rμ33

Platí stejné poznámky o slapovém vlivu a zdánlivé velikosti jako pro bod L 1 . Například úhlový poloměr slunce při pohledu z L 2 je arcsin( ⁠695,5 × 10 3/151,1 × 10 6⁠ ) ​​≈ 0,264°, zatímco pozemský je arcsin( ⁠6371/1,5 × 10 6⁠ ) ≈ 0,242°. Při pohledu směrem ke slunci z L 2 vidíme prstencové zatmění . Je nutné, aby kosmická loď, jako je Gaia , sledovala Lissajousovu dráhu nebo halovou dráhu kolem L 2 , aby její solární panely dosáhly plného slunce.

L 3

Umístění L 3 je řešením následující rovnice, gravitace poskytující dostředivou sílu:M1(R−r)2+M2(2R−r)2=(M2M1+M2R+R−r)M1+M2R3s parametry M 1 , M 2 a R definovanými jako pro případy L 1 a L 2 a r je definováno tak, že vzdálenost L 3 od středu většího objektu je R - r . Pokud je hmotnost menšího předmětu ( M 2 ) mnohem menší než hmotnost většího předmětu ( M 1 ), pak:

r≈R712μ.

Vzdálenost od L 3 k většímu objektu je tedy menší než vzdálenost těchto dvou objektů (ačkoli vzdálenost mezi L 3 a barycentrem je větší než vzdálenost mezi menším objektem a barycentrem).

L 4 a L 5

Další informace: Trojan (nebeské těleso)

Důvod, proč jsou tyto body v rovnováze, je ten, že v L 4 a L 5 jsou vzdálenosti obou hmot stejné. V souladu s tím jsou gravitační síly od dvou hmotných těles ve stejném poměru jako hmotnosti těchto dvou těles, a tak výsledná síla působí přes barycentrum systému. Geometrie trojúhelníku navíc zajišťuje, že výsledné zrychlení je na vzdálenost od barycentra ve stejném poměru jako u dvou hmotných těles. Barycentrum, které je těžištěm i středem rotace systému tří těles, je tato výsledná síla přesně ta, která je potřebná k udržení menšího tělesa v Lagrangeově bodě v orbitální rovnováze s ostatními dvěma většími tělesy systému (ve skutečnosti, třetí těleso musí mít zanedbatelnou hmotnost). Obecnou trojúhelníkovou konfiguraci objevil Lagrange při práci na problému tří těles .

Radiální zrychlení

Radiální zrychlení a objektu na oběžné dráze v bodě podél přímky procházející oběma tělesy je dáno vztahem:A=−GM1r2sgn⁡(r)+GM2(R−r)2sgn⁡(R−r)+G((M1+M2)r−M2R)R3kde r je vzdálenost od velkého tělesa M 1 , R je vzdálenost mezi dvěma hlavními objekty a sgn( x ) je znaménková funkce x . Členy v této funkci reprezentují: sílu z M 1 ; síla od M 2 ; a dostředivá síla. Body L 3 , L 1 , L 2 se vyskytují tam, kde je zrychlení nulové – viz graf vpravo. Kladné zrychlení je zrychlení směrem k pravé straně grafu a záporné zrychlení je směrem k levé straně; proto má zrychlení opačná znaménka na opačných stranách gravitačních vrtů.

Čisté radiální zrychlení bodu obíhajícího podél spojnice Země–Měsíc

Stabilita

STL 3D model Rocheova potenciálu dvou obíhajících těles, vykreslený napůl jako povrch a napůl jako síť

Ačkoli body L 1 , L 2 a L 3 jsou nominálně nestabilní, v systému tří těles kolem těchto bodů existují kvazistabilní periodické dráhy nazývané halové dráhy . Dynamický systém plných n- těl , jako je Sluneční soustava, tyto periodické dráhy neobsahuje, ale obsahuje kvaziperiodické (tj. ohraničené, ale ne přesně se opakující) dráhy sledující trajektorie Lissajousovy křivky . Tyto kvaziperiodické oběžné dráhy Lissajous jsou to, co většina vesmírných misí s Lagrangeovým bodem dosud používala. Ačkoli nejsou dokonale stabilní, skromné ​​úsilí o udržení stanice udrží kosmickou loď na požadované Lissajousově oběžné dráze po dlouhou dobu.

Pro mise Slunce–Země-L 1 je vhodnější, aby kosmická loď byla na velké amplitudě (100 000–200 000 km nebo 62 000–124 000 mil) na oběžné dráze Lissajous kolem L 1 , než aby zůstala na L 1 , protože čára mezi Sluncem a Země zvýšila sluneční interferenci v komunikaci Země-kosmická loď. Podobně velká amplituda Lissajousova oběžná dráha kolem L 2 udržuje sondu mimo zemský stín, a proto zajišťuje nepřetržité osvětlení jejích solárních panelů.

Body L 4 a L 5 jsou stabilní za předpokladu , že hmotnost primárního tělesa (např. Země) je alespoň 25 násobkem hmotnosti sekundárního tělesa (např. Měsíce),  Země je více než 81krát větší než hmotnost Měsíce (Měsíc je 1,23 % hmotnosti Země ). I když se body L 4 a L 5 nacházejí na vrcholu "kopce", stejně jako ve výše uvedeném diagramu efektivního potenciálu, jsou přesto stabilní. Důvodem stability je efekt druhého řádu: jak se těleso vzdaluje od přesné Lagrangeovy polohy, Coriolisovo zrychlení (které závisí na rychlosti obíhajícího objektu a nelze jej modelovat jako obrysovou mapu)  zakřivuje trajektorii. do cesty kolem (spíše než pryč od) bodu. Protože zdrojem stability je Coriolisova síla, výsledné dráhy mohou být stabilní, ale obecně nejsou rovinné, ale "trojrozměrné": leží na pokřiveném povrchu protínajícím rovinu ekliptiky. Orbity ledvinovitého tvaru, které jsou typicky znázorněny vnořené kolem L 4 a L 5, jsou projekce drah na rovině (např. ekliptice) a ne plné 3D oběžné dráhy.

Hodnoty sluneční soustavy

Slunce – planeta Lagrange ukazuje měřítko (Kliknutím zobrazíte jasnější body.)

Tato tabulka uvádí ukázkové hodnoty L 1 , L 2 a L 3 v rámci Sluneční soustavy. Výpočty předpokládají, že obě tělesa obíhají po dokonalém kruhu se vzdáleností rovnou hlavní poloose a žádná další tělesa nejsou poblíž. Vzdálenosti se měří od těžiště většího tělesa (ale viz barycentrum zejména v případě Měsíce a Jupiteru) s L 3 ukazujícím záporný směr. Procentuální sloupce ukazují vzdálenost od oběžné dráhy ve srovnání s hlavní poloosou. Např. pro Měsíc je L 1326 400 km od středu Země, což je 84,9 % vzdálenosti Země–Měsíc nebo 15,1 % "před" (směrem k Zemi) Měsícem; L 2 se nachází448 900 km od středu Země, což je 116,8 % vzdálenosti Země–Měsíc nebo 16,8 % za Měsícem; a L3 se nachází−381 700 km od středu Země, což je 99,3 % vzdálenosti Země–Měsíc nebo 0,7084 % uvnitř (k Zemi) "negativní" polohy Měsíce.