Gravitační vazebná energie
Gravitační vazebná energie
Gravitační vazebná energie systému je minimální energie, která k němu musí být přidána, aby systém přestal být v gravitačně vázaném stavu . Gravitačně vázaný systém má nižší ( tj . zápornější) gravitační potenciální energii než součet energií jeho částí, když jsou tyto zcela odděleny - to je to, co udržuje systém agregovaný v souladu s principem minimální celkové potenciální energie .
Pro kulové těleso o jednotné hustotě je gravitační vazebná energie U dána vzorcem
kde G je gravitační konstanta , M je hmotnost koule a R je její poloměr.
Za předpokladu, že Země je koule o jednotné hustotě (což není, ale je dostatečně blízko, aby se získal řádový odhad) s M =5,97 × 10 24 kg a r =6,37 × 106 m , pak U =2,24 × 1032 J. _ _ To se zhruba rovná jednomu týdnu celkového energetického výdeje Slunce . to je37,5 MJ/kg , 60 % absolutní hodnoty potenciální energie na kilogram na povrchu.
Skutečná hloubková závislost hustoty, odvozená z dob seismického cestování (viz Adams-Williamsonova rovnice ), je uvedena v předběžném referenčním zemském modelu (PREM). [4] Pomocí toho lze numericky vypočítat skutečnou gravitační vazebnou energii Země jako U =2,49 × 1032 J. _ _
Podle viriálního teorému je gravitační vazebná energie hvězdy asi dvojnásobkem její vnitřní tepelné energie , aby byla zachována hydrostatická rovnováha . Jak se plyn ve hvězdě stává relativističtějším , gravitační vazebná energie potřebná pro hydrostatickou rovnováhu se blíží nule a hvězda se stává nestabilní (vysoce citlivá na poruchy), což může v případě hvězdy s vysokou hmotností vést k supernově . vlivem silného radiačního tlaku nebo do černé díry v případě neutronové hvězdy .
Odvození pro jednotnou kouli
Gravitační vazebná energie koule o poloměruse nalézá tak, že si představíte, že je oddělováno postupným pohybem kulových skořápek do nekonečna, nejvzdálenější první, a nalezením celkové energie potřebné k tomu.
Za předpokladu konstantní hustoty, hmotnosti pláště a koule uvnitř jsou: a Potřebná energie pro plášť je záporná hodnota gravitační potenciální energie:
Integrace přes všechny skořepiny přináší:
Od té dobyje jednoduše rovna hmotnosti celku dělené jeho objemem pro objekty s rovnoměrnou hustotou A nakonec, zapojení tohoto do našeho výsledku vede k
Gravitační vazebná energie
Záporná hmotnostní složka
Dvě tělesa, umístěná ve vzdálenosti R od sebe a vzájemně se nepohybující, působí gravitační silou na třetí těleso o něco menší, když je R malé. To lze považovat za zápornou hmotnostní složku systému, která se pro rovnoměrně kulová řešení rovná:
Stojí například fakt, že Země je gravitačně vázaná koule své současné velikosti 2,494 21 × 10 15 kg hmotnosti (zhruba jedna čtvrtina hmotnosti Phobos - viz výše pro stejnou hodnotu v joulech ), a pokud by její atomy byly řídké v libovolně velkém objemu, Země by vážila svou současnou hmotnost plus2,494 21 × 10 15 kg kilogramů (a jeho gravitační síla přes třetí těleso by byla odpovídajícím způsobem silnější).
Lze snadno demonstrovat, že tato negativní složka nemůže nikdy převýšit pozitivní složku systému. Záporná vazebná energie větší než hmotnost samotného systému by skutečně vyžadovala, aby poloměr systému byl menší než:
která je menší nežjeho Schwarzschildův poloměr :a proto nikdy nejsou viditelné pro vnějšího pozorovatele. Toto je však pouze newtonovská aproximace a v relativistických podmínkách je třeba vzít v úvahu i další faktory.
Nejednotné koule
Planety a hvězdy mají radiální gradienty hustoty od jejich povrchů s nižší hustotou k jejich mnohem hustším stlačeným jádrům. Objekty degenerované hmoty (bílí trpaslíci; pulsary neutronových hvězd) mají radiální gradienty hustoty plus relativistické korekce.
Relativistické stavové rovnice neutronové hvězdy zahrnují graf poloměru vs. hmotnost pro různé modely. Nejpravděpodobnější poloměry pro danou hmotnost neutronové hvězdy jsou ohraničeny modely AP4 (nejmenší poloměr) a MS2 (největší poloměr). BE je poměr hmotnosti gravitační vazebné energie ekvivalentní gravitační hmotnosti pozorované neutronové hvězdy M o poloměru R ,
Vzhledem k aktuálním hodnotám a hmotnost hvězdy M vyjádřená vzhledem k hmotnosti Slunce, pak je relativistická zlomková vazebná energie neutronové hvězdy